Question

设{a_n}是有穷数列，且项数n≥2．定义一个变换η：将数列a₁，a₂，…，a_n，变成a₃，a₄，…，a_n+1，其中a_n+1=a₁•a₂是变换所产生的一项．从数列1，2，3，…，2²⁰¹³开始，反复实施变换η，直到只剩下一项而不能变换为止．则变换所产生的所有项的乘积为（ ）
A．（2²⁰¹³!）²⁰¹³
B．（2²⁰¹³!）²⁰¹²
C．（2013!）²⁰¹²
D．（2²⁰¹³!）!

Answer

利用η变换的意义，从数列1，2，3，…，22013开始，反复实施变换η22012次得到：1×2，3×4，…，（22013-1）•22013；…依此类推，反复实施变换η22013-2012次得到：1×2×3×…×22012，（22012+1）•（22012+2）•…•（22012+22012），再经过一次η变换即可得到1×2×3×…×22013，因为经过每一次η变换得到所有项的乘积都为22013！，共需要经过1+2+…+22012+1=+1=22013次η变换，即可得到答案．
【解析】
从数列1，2，3，…，22013开始，反复实施变换η22012次得到：1×2，3×4，…，（22013-1）•22013；
对上述数列反复实施变换η22011次得到1×2×3×4，5×6×7×8，…，（22013-3）（22013-2）（22013-1）•22013；
…
依此类推，反复实施变换η22013-2012次得到：1×2×3×…×22012，（22012+1）•（22012+2）•…•（22012+22012），
再经过一次η变换即可得到1×2×3×…×22013，
因为经过每一次η变换得到所有项的乘积都为22013！，共需要经过1+2+…+22012+1=+1=22013次η变换．
则变换所产生的所有项的乘积为（22013！）2013．
故选A．