Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：B′C∥平面A′PE．
（Ⅱ）设，当λ为何值时，二面角C-A′B′-P的大小为60°？

Answer

（I）利用线面平行的判定定理即可证明FC∥平面A'PE．再利用线面垂直的性质定理即可证明B′F∥A′E，进而得到B'F∥平面A'PE．利用面面平行的判定定理即可得到
平面B'CF∥平面A'PE，从而得到线面平行；
（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
（Ⅰ）证明：∵FC∥PE，FC⊄平面A'PE，∴FC∥平面A'PE．
∵平面A'PE⊥平面ABC，且A'E⊥PE，∴A'E⊥平面ABC．
同理，B'F⊥平面ABC，∴B'F∥A'E，从而B'F∥平面A'PE．
∴平面B'CF∥平面A'PE，从而B'C∥平面A'PE．
（Ⅱ）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．
则C（0，0，0），，，．
∴，，．
平面CA'B'的一个法向量，
平面PA'B'的一个法向量．
由，
化简得，解得．