Question

如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点P是抛物线C₁上的动点．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点P作抛物线C₂的两条切线，M、N分别为两个切点，设点P到直线MN的距离为d，求d的最小值．

Answer

（I）由题意抛物线C1的焦点为抛物线C2的顶点（0，1），由此算出p=2，从而得到抛物线C1的方程，得到C1的准线方程；
（II）设P（2t，t2），，，用直线方程的点斜式列出直线PM方程并将点P坐标代入，化简可得，同理得到．然后利用一元二次方程根与系数的关系，算出x1+x2=4t，x1x2=2t2-2，将直线MN的两点式方程化简并代入前面算出的式可得MN的方程为y=2tx+2-t2．最后利用点到直线的距离公式列式，采用换元法并且运用基本不等式求最值，即可算出P到直线MN的距离d的最小值为．
【解析】
（Ⅰ）∵抛物线C1的方程为x2=2py，∴抛物线的焦点为，…（2分）
∵抛物线的焦点在抛物线C2上
∴，可得p=2．…（4分）
故抛物线C1的方程为x2=4y，其准线方程为y=-1．…（6分）
（Ⅱ）设P（2t，t2），，，
可得PM的方程：，
∴点P坐标代入，化简得，即．
同理可得PN：，得．…（8分）
由得x1、x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2=4t，x1x2=2t2-2．…（*）
∵MN的方程：，
∴化简整理，得
代入（*）式，可得MN的方程为y=2tx+2-t2．…（12分）
于是，点P到直线MN的距离．
令s=1+4t2（s≥1），则（当s=3时取等号）．
由此可得，当P坐标为（，）时，点P到直线MN的距离d的最小值为．…（15分）