Question

已知函数．
（1）若不等式f（x）＜k-2005对于x∈[-2，3]恒成立，求最小的正整数k；
（2）令函数，求曲线y=g（x）在（1，g（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．

Answer

（1）由函数，知f′（x）=x2-1，令f′（x）=0，得x=±1，由此得到f（x）在x∈[-2，-1]上的最大值为f（3）=6，故要使得不等式f（x）＜k-2005对于x∈[-2，3]恒成立，等价于6＜k-2005恒成立，由此能求出最小的正整数k．
（2）由g（x）=f（x）-+x=-，知g′（x）=x2-ax，g（1）=，故切线方程为y-（-）=（1-a）（x-1），与坐标轴的交点为（0，-），（，0），由此能求出三角形面积的最小值．
【解析】
（1）∵函数，
∴f′（x）=x2-1，
令f′（x）=0，得x=±1，
当x∈[-2，-1]时，f′（x）＞0，f（x）递增，
∴f（-2）=×（-2）3-（-2）=-，f（-1）=-+1=．
当x∈[-1，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减，f（1）=-1=-，
当x∈[1，3]时，f′（x）＞0，f（x）递增，f（3）=-3=6．
∴f（x）在x∈[-2，-1]上的最大值为f（3）=6，
要使得不等式f（x）＜k-2005对于x∈[-2，3]恒成立，
则6＜k-2005恒成立，解得k＞2011，
所以最小的正整数k为2012．
（2）∵g（x）=f（x）-+x=-，
∴g′（x）=x2-ax，g（1）=，
y=g（x）在（1，g（1））处的切线的斜率为g′（1）=1-a，
故切线方程为y-（-）=（1-a）（x-1），
化简得y-（1-a）x+-a=0，与坐标轴的交点为（0，-），（，0），
又∵a≥2，∴-＜0，，
所以面积S==（）2，
∵S为递增函数，
∴当a=2时，面积Smin==．