Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=，CC₁=4，M是棱CC₁上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分别是CC₁，AB的中点，求证：CN∥平面AB₁M；
（Ⅲ）若，求二面角A-MB₁-C的大小．

Answer

（1）△ABC中，根据勾股定理的逆定理得BC⊥AC，结合直三棱柱中CC1⊥BC，可得BC⊥平面ACC1A1，从而得到BC⊥AM．
（2）连接A1B交AB1于P，根据平行四边形AA1B1B的性质，结合三角形中位线定理，可得NP与CM平行且相等，从而四边形MCNP是平行四边形，可得CN∥MP，再结合线面平行的判定定理，得到CN∥平面AB1M．
（3）以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，根据题意得到C、A、、B1、M各点的坐标，从而得到向量、的坐标，再利用垂直向量数量积为零的方法，列方程组可求出平面AMB1的法向量=（5，-3，4），结合平面MB1C的一个法向量=（2，0，0），利用空间两个向量的夹角公式，得到与的夹角，即得二面角A-MB1-C的大小．
【解析】
（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴CC1⊥BC．                     …（1分）
∵AC=BC=2，AB=2，
∴△ABC中，AC2+BC2=8=AB2，可得BC⊥AC．  …（2分）
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1．              …（3分）
∵AM⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥AM．                      …（4分）
（Ⅱ）连接A1B交AB1于P．              …（5分）
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B是平行四边形
∴P是A1B的中点．
又∵M，N分别是CC1，AB的中点，
∴NP∥CM，且NP=CM，
∴四边形MCNP是平行四边形，可得CN∥MP．              …（7分）
∵CN⊄平面AB1M，MP⊂平面AB1M，…（8分）
∴CN∥平面AB1M．               …（9分）
（Ⅲ）∵BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，
∴以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．
由C1M=，得C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，4），M（0，0，），
∴向量=（-2，0，），=（0，-2，-）．                                          …（10分）
设平面AMB1的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0．
即          …（11分）
令x=5，则y=-3，z=4，即=（5，-3，4），
又平面MB1C的一个法向量是=（2，0，0），
∴cos＜，＞==．   …（12分）
由图可知二面角A-MB1-C为锐角，
∴二面角A-MB1-C的大小为．                            …（14分）