Question

在数列 {a_n} 与 {b_n} 中，数列 {a_n} 的前n项和S_n满足 S_n=n²+2n，数列 {b_n} 的前n项和T_n满足 3T_n=nb_n+1，且b₁=1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列 {a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 {b_n} 的通项公式；
（Ⅲ）设 c_n=cos，求数列 {c_n} 的前n项和R_n．

Answer

（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可求数列{an} 的通项公式；
（Ⅱ）利用数列递推式，两式相减，再利用叠乘法，即可求数列{bn} 的通项公式；
（Ⅲ）确定数列的通项，分类讨论，分子求和，即可求数列 {cn} 的前n项和Rn．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn=n2+2n，…①
∴Sn-1=（n-1）2+2（n-1），n≥2． …②
①-②得 an=2n+1，n≥2．   …2分
∵a1=S1=3 满足上式，
∴an=2n+1，n∈N*．   …4分
（Ⅱ）∵3Tn=nbn+1，…③
∴3Tn-1=（n-1）bn，n≥2． …④
③-④得 3bn=nbn+1-（n-1）bn，即 ，n≥2．  …5分
∴，，，…，．
将以上各式连乘得，n≥2．  …7分
∵b1=1，∴b2=3．
∴，n≥2． …8分
∵b1=1满足上式，
∴，n∈N*． …9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得 ，…10分
（1）当 n=3k （k∈N*）时，
Rn=（c1+c2+c3）+（c4+c5+c6）+…+（c3k-2+c3k-1+c3k）
=（--+32）+（+62）+…+[+（3k）2]
=++…+==．
（2）当 n=3k-1（k∈N*）时，
Rn=-c3k==．
（3）当 n=3k-2（k∈N*）时，
Rn=-c3k-1==．
综上，Rn=（k∈N*） …14分．