Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求三棱锥C-OEF的体积；
（Ⅲ）求二面角的E-BC-F大小．

Answer

（I）由面面垂直的性质定理，证出CB⊥平面ABEF，从而AF⊥CB．由直径所对的圆周角是直角，得到AF⊥BF，结合线面垂直判定定理，可证出AF⊥平面CBF；
（II）由（I）的结论，可知三棱锥C-OEF的高是CB，且CB=AD=1．再证出△OEF为正三角形，算出△OEF的面积并结合锥体体积公式，即可算出三棱锥C-OEF的体积；
（III）由CB⊥平面ABEF结合二面角平面角的定义，证出∠EBF就是二面角E-BC-F的平面角．再由同弧所对的圆周角与圆心角的关系算出∠EBF=∠E0F=30°，由此可得二面角的E-BC-F大小等于30°．
【解析】
（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF，
∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，…（3分）
又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，
∵CB∩BF=B，∴AF⊥平面CBF．…（6分）
（Ⅱ）由（I）知CB⊥平面ABEF，即CB⊥OEF，
∴三棱锥C-OEF的高是CB，可得CB=AD=1，…（8分）
连结0E、0F，可知0E=0F=EF=1
∴△OEF为正三角形，∴正△OEF的高等于，…（10分）
∴VC-OEF=S△0EF×CB=×（××1）×1=，…（10分）
（ III）∵CB⊥平面ABEF，BE⊂平面ABEF，BF⊂平面ABEF
∴CB⊥BE且CB⊥BF，可得∠EBF就是二面角E-BC-F的平面角
∵圆O中，∠EBF是圆周角，∠E0F是圆心角，且两个角对同弧
∴∠EBF=∠E0F=30°
因此，二面角的E-BC-F大小等于30°