Question

已知，g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．
（1）若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2.71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x₁，x₂，…，x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立；
（3）求证：．

Answer

（1）首先设出直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，把切点代入两曲线方程后联立可求得b的值，解出g（x）后把f（x）和g（x）的解析式代入f（x）≥g（x），分离变量a后对函数进行两次求导得到函数在区间[1，+∞）内的最小值，则实数a的范围可求；
（2）当a=1时可证得函数f（x）在[e，3]上为增函数，而g（x）也是增函数，把不等式左边放大取最大值，右边取最小值，代入后即可求解最大的正整数k；
（3）该命题是与自然数有关的不等式，采用数学归纳法证明，由归纳假设证明n=k+1成立时，穿插运用分析法．
【解析】
（1）设点（x，y）为直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，则有2lnx+bx=2x-2①
∵，∴②
由②得，2x-2=bx，代入①得x=1，所以b=0，则g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x），即，整理得，
∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x2-2xlnx恒成立．
设h（x）=x2-2xlnx，，
∵，∴当x≥1时，h''（x）≥0，则h'（x）是增函数，
∴h'（x）≥h'（1）=0，∴h（x）是增函数，则h（x）≥h（1）=1，∴a≤1．
又a＞0，因此，实数a的取值范围是0＜a≤1． 
（2）当a=1时，，∵，∴f（x）在[e，3]上是增函数，
f（x）在[e，3]上的最大值为．
要对[e，3]内的任意k个实数x1，x2，…，xk，都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）≤16g（xk）成立，
必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，∵当x1=x2=…=xk-1=3时不等式左边取得最大值，
xk=e时不等式右边取得最小值．∴（k-1）f（3）≤16g（3），即，解得k≤13．
因此，k的最大值为13．         
（3）证明：1°当n=1时，左边=，右边=ln3，
根据（1）的推导有，x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），即．
令x=3，得，即．
因此，n=1时不等式成立．   
2°假设当n=k时不等式成立，即，
则当n=k+1时，，
要证n=k+1时命题成立，即证，
即证．
在不等式中，令，得．
∴n=k+1时命题也成立．    
综上所述，不等式对一切n∈N*成立．