Question

2011年10月17日，永春一中隆重的举行105周年校庆，为了搞好接待工作，校庆组委会在高三年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图的茎叶图（单位：cm）．男生身高在175 cm以上（包括175 cm）定义为“高个子”，身高在175 cm以下（不包括175 cm）定义为“非高个子”，女生身高在170 cm以上（包括170 cm）定义为“高个子”，身高在170 cm以下（不包括170 cm）定义为“非高个子”且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取4人，再从这4人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，请写出X的分布列，并求X的数学期望．

Answer

（I）由题意及茎叶图，有“高个子”15人，“非高个子”15人，利用用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，利用对立事件即可；
（II）由于从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，利用离散型随机变量的定义及题意可知ξ的取值为0，1，2，3在利用古典概型的概率公式求出每一个值对应事件的概率，有期望的公式求出即可．
【解析】
（I）根据茎叶图，有“高个子”15人，“非高个子”15人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 =，
所以选中的“高个子”有15×=2人，“非高个子”有15×=2人．
用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件 表示“没有一名“高个子”被选中”，
则P（A）=1-=．
因此，至少有一人是“高个子”的概率是 ．
（II）依题意，X的取值为0，1，2，3．
P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．
因此，X的分布列如下：

X 1 2 3
p

∴EX=0×+1×+2×+3×=．