Question

已知线段，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．
（1）求动点A所在的曲线方程；
（2）若存在点A，使AC⊥AD，试求a的取值范围；
（3）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且AO⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值．

Answer

（1）以O为圆心，CD所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，利用椭圆的定义判断曲线类型，并求得曲线方程．
（2）由（Ⅰ）知，以O为圆心，为半径的圆与椭圆有公共点，故，解出a的取值范围．
（3）当a=2时，求出OA和OB的长度，代入∴△AOB面积=，令1+k2=t（t＞1），，令，求得g（t）的范围，即得S的最值．
【解析】
（1）以O为圆心，CD所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，
若，即，动点A所在的曲线不存在；
若，即，动点A所在的曲线方程为；
若，即，动点A所在的曲线方程为．
（2）由（Ⅰ）知，要存在点A，使AC⊥AD，则以O为圆心，为半径的圆与椭圆有公共点，
故，所以，a的取值范围是．
（3）当a=2时，其曲线方程为椭圆，由条件知A，B两点均在椭圆上，且AO⊥OB．
设A（x1，y1），B（x2，y2），OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为，
解方程组，得，，同理可求得，，
∴△AOB面积=，
令1+k2=t（t＞1），则 ，
令，所以，，即，
当OA与坐标轴重合时S=1，于是，△AOB面积的最大值和最小值分别为1与．