Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，M是棱BB₁的中点，N是CC₁的中点，AC₁与A₁N相交于点E．
（I）求三棱锥A-MNA₁的体积；
（II）求证：AC₁⊥A₁M．

Answer

（Ⅰ）利用直三棱锥的性质和已知条件证明MN是三棱锥M-AA1N的高，进而利用三棱锥的体积公式即可计算出；
（Ⅱ）利用线面垂直的判定和性质定理即可证明．
【解析】
（Ⅰ）如图所示，
由直三棱柱ABC-A1B1C1，可得C1C⊥底面ABC，∴C1C⊥BC，C1C⊥AC．
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．
又BC∩CC1=C，∴AC⊥侧面BCC1B1，∴侧面BCC1B1⊥侧面ABB1A1．
由侧面BCC1B1是矩形，M是棱BB1的中点，N是CC1的中点，
∴四边形BCNM是矩形，∴MN=BC=1，MN⊥CC1．
∴MN⊥侧面ABB1A1．
在Rt△ABC中，AC==．
∴==．
∴====．
（Ⅱ）先证明AC1⊥A1N．
在Rt△ACC1中，sin∠AC1C===．
在Rt△A1C1N中，cos∠A1NC1===，
∴sin∠AC1C=cos∠A1NC1．
∴，∴AC1⊥A1N．
由（Ⅰ）可知：MN⊥侧面AA1C1C，∴MN⊥AC1．
又∵A1N∩MN=N，∴AC1⊥平面A1MN，
∴AC1⊥A1M．