Question

已知函数．
（I）若曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（II）讨论函数y=f（x）的单调性；
（III）当a=2时，关于x的方程f（x）=m有三个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer

（I）先求f（x）的定义域为{x|x＞0}，先对已知函数进行求导，由f'（2）=2-a-1+=，可求a；
（II）由f'（x）=x-a-1+=（x＞0），通过比较1与2a的大小解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，从而可求函数的单调区间；
（III）把判断方程f（x）=m何时有三个不同的实数根的问题，转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的极值，把函数的极值同m进行比较，得到结果．
【解析】
（I）由已知可知f（x）的定义域为{x|x＞0}
f'（x）=x-a-1+（x＞0）
根据题意可得，f'（2）=2-a-1+=，
∴a=-1．
（II）∵f'（x）=x-a-1+=（x＞0）
①当a＞1时，由f′（x）＞0可得x＞a或0＜x＜1；
由f′（x）＜0可得0＜x＜2a
∴f（x）在（2a，+∞）上单调递增，在（0，2a）上单调递减
②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0可得x＞1或0＜x＜a；
③当a=1时，在区间（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立．
∴当a＞1时，f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减；
当0＜a＜1时，f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；
当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当a≤0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
（III）当a=2时，f（x）=，
由（II）问知，f（x）在（0，1），（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减；
∴f（x）的极大值为f（1）=-，f（x）的极小值为f（2）=2ln2-4，
当m∈（2ln2-4，-），函数方程f（x）=m在（0，+∞）上有三个不同的实数根，
因此实数m的取值范围是（2ln2-4，-）．