Question

如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，，BD=2，AC=4，点E在线段PC上．
（Ⅰ）当点E为线段PC的中点时，求证：BE⊥AC；
（Ⅱ）若二面角B-EA-D为直二面角，求直线BE与平面ABCD所成角的正切值．

Answer

（Ⅰ）设AC与BD交于点O，当点E为线段PC的中点时，EO∥PA，从而可得EO⊥平面ABCD，进而有AC⊥EO，利用四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，进而可得AC⊥平面BED，即可证明BE⊥AC；
（Ⅱ）解法1，向量法，利用二面角B-EA-D为直二面角，可得平面AED的一个法向量、平面ABE的一个法向量，数量积为0，进而利用向量的夹角公式，可求直线BE与平面ABCD所成角的正切值；
解法2：在三角形ABE中，作BF⊥EA，垂足为F，连接DF，OF，取线段CO的中点G，证明∠EBG就是直线BE与平面ABCD所成的角，即可求得结论．
（Ⅰ）证明：设AC与BD交于点O，则O为AC，BD的中点，
因为点E为线段PC的中点，所以EO∥PA..…（1分）
又PA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，
所以AC⊥EO．…（3分）
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，BD∩EO=O，
所以AC⊥平面BED，…（5分）
因为BE⊆平面BED，所以BE⊥AC．        …（6分）
（Ⅱ）解法1：如图建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（-2，0，0），B（0，-1，0），C（2，0，0），D（0，1，0），，
所以，．
设，
则．
设平面AED的法向量为（x，y，z），
则
取x=1得y=-2，
所以平面AED的一个法向量为； …（8分）
同理平面ABE的一个法向量为；    …（10分）
因为平面BEA⊥平面DEA，
所以，
得（舍去），，…（12分）
所以．
又因为平面ABCD的一个法向量为（0，0，1），
所以，…（14分）
故直线BE与平面ABCD所成角的正切值为．…（15分）
解法2：如图，在三角形ABE中，作BF⊥EA，垂足为F，连接DF，OF，
因为平面ABE⊥平面ADE，则BF⊥平面ADE，BF⊥FD．
因为OF=BO=DO=1，BD⊥AC，BD⊥PA，
所以BD⊥面PAC，面PAC⊥面ABC，BD⊥AE…（8分）
所以AE⊥平面BDF，所以OF⊥FA，
因为OA=2，所以∠FOA=60°，因为∠PCA=60°，
所以PC∥OF，CE⊥AE．…（10分）
所以，取线段CO的中点G，
则EG⊥AC，EG⊥面ABCD，
所以∠EBG就是直线BE与平面ABCD所成的角．…（12分）
因为CG=1，，，
所以．
故直线BE与平面ABCD所成角的正切值为．…（15分）