Question

如图，设经过点F（1，0）的直线l与抛物线C：y²=4x相交于A，B两点．
（Ⅰ）若直线l的倾斜角为，求线段AB中点的坐标；
（Ⅱ）已知以线段AB为直径的圆始终与定圆内切，求实数r的值．

Answer

（Ⅰ）设出直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，可得线段AB中点的坐标；
（Ⅱ）求出以线段AB为直径的圆始终的方程，利用圆与定圆内切，圆心距等于半径之差，即可求实数r的值．
【解析】
（Ⅰ）由已知得直线l为y=x-1，…（1分）
代入抛物线C方程得y2-4y-4=0．…（2分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点D的坐标为（x，y），
因为△=32＞0，则，x=y+1=3，…（4分）
所以线段AB的中点D的坐标为（3，2）．…（5分）
（Ⅱ）设直线l方程为x=ty+1，…（6分）
代入抛物线C方程得y2-4ty-4=0，…（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点D的坐标为（x，y），
因为△=16t2+16＞0，所以．…（8分）
所以，，
所以线段AB的中点D的坐标为（2t2+1，2t）．…（10分）
以线段AB为直径的圆的半径为，
记圆的圆心为，
则，
所以，…（12分）
进而或（不为常数），…（13分）
所以．…（14分）