Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长1正四棱柱，O₁为A₁C₁与B₁D₁的交点．
（1）设AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成的角为，求该棱柱的侧面积；
（2）（理）若点C到平面AB₁D₁的距离为，求四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．
（3）（文）设高AA₁=2，求四面体AB₁D₁C的体积．

Answer

（1）由题意，ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，则AB1与底面A1B1C1D1所成角即为∠AB1A1，则AB1的长度可求，进而可求该棱柱的侧面积；
（2）由图形借助面面垂直找到点C在平面AB1D1的位置，利用三角形的相似解出．
（3）由高AA1=2，ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，则可得三棱锥A-A1B1D1的体积，而四面体AB1D1C的体积为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积减去四个三棱锥A-A1B1D1的体积，故四面体AB1D1C的体积可求．
【解析】
（1）由于ABCD-A1B1C1D1是底面边长1正四棱柱，则AB1与底面A1B1C1D1所成的角为∠AB1A1，
又由AB1与底面A1B1C1D1所成的角为，则=，故
则该棱柱的侧面积为．
（2）∵O1为B1D1的中点，而△AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，
∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1且交线为AO1，
∴点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，
在矩形AA1C1C中，利用Rt△AA1O1∽Rt△CHA 得到
而
∴⇔，则AA1=2，
故正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2．
（3）由于ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，
则三棱锥A-A1B1D1的体积为，
又由四面体AB1D1C的体积为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积减去四个三棱锥A-A1B1D1的体积
则四面体AB1D1C的体积为，
故四面体AB1D1C的体积为．