Question

已知函数，a∈R且a≠0．
（1）若对∀x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范围；
（2）若a≥2，且∃x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范围．

Answer

（1）f（x）可变为：．令t=sinx（-1≤t≤1），则，则任意x∈R，f（x）≤0恒成立⇔g（-1）≤0，g（1）≤0，解出即可；
（2）x∈R，使得f（x）≤0，等价于f（x）min=g（t）min≤0，当a≥2时，由g（t）在[-1，1]上的单调性易求其最小值；
【解析】
（1）．
令t=sinx（-1≤t≤1），则，
对任意x∈R，f（x）≤0恒成立的充要条件是
解得a的取值范围为（0，1]；
（2）因为a≥2，所以，g（t）在[-1，1]上递增，
所以，
因此．
于是，存在x∈R，使得f（x）≤0的充要条件是，解得0＜a≤3，
故a的取值范围是[2，3]．