Question

已知椭圆方程为C：=1，它的左、右焦点分别为F₁、F₂．点P（x，y）为第一象限内的点．直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（1）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂．试找出使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0成立的条件（用k₁、k₂表示）．
（3）又已知点E为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，直线F₂E与椭圆C的交点G在y轴的左侧，且满足，求p的最大值．

Answer

（1）利用椭圆的定义，结合余弦定理、基本不等式，即可求得椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；
（2）设出A，B，C，D的坐标，联立直线PF1和椭圆的方程根据韦达定理表示出xA+xB和xAxB，进而可求得直线OA，OB斜率的和与CO，OD斜率的和，由kOA+k）B+kOC+kOD=0推断出k1+k2=0或k1k2=1；
（3）设出G的坐标，可得E的坐标，利用E在抛物线上，可得p的函数，换元，利用基本不等，即可得到结论．
【解析】
（1）由题意，设椭圆上的点与两焦点连线的距离为m，n，夹角为α，则m+n=
∴cosα==-1
∵m+n=≥
∴0＜mn≤2
∴-1≥0
∴cosα≥0
∴当m=n时，椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角为90°；
（2）设直线PF1、PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x-1），A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），
联立直线PF1和椭圆的方程化简得（2k12+1）x2+4k12x+2k12-2=0，
因此xA+xB=-，xAxB=，所以kOA+kOB=+=-
同理可得：kOC+kOD=-，
故由kOA+kOB+kOC+kOD=0得k1+k2=0或k1k2=1；
（3）F2（1，0），设G（x，y），（），则
∵，∴xE=，yE=，
∵E为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，
∴
∵
∴12p=
令t=x+2，则
∴12p=-（-4）≤-（2-4），∴p≤，当且仅当t=时，取等号
∴时，p的最大值为．