Question

设数列{a_n}的通项公式为a_n=an+b（n∈N^*，a＞0）．数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（1）若a=2，b=-3，求b₁₀；
（2）若a=2，b=-1，求数列{b_m}的前2m项和公式；  
（3）是否存在a和b，使得？如果存在，求a和b的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意可得，an=2n-3，令an=2n-3≥10，可得最小的自然数n=7，从而求得b10的值．
（2）令an≥m，求得 n≥．根据bm的定义可知：当m=2k-1时，bm=k（k∈N*）；当m=2k时，b m=k+1（k∈N*）．再由b1+b2+…+b2m=（b1+b3+..b2m-1）+（b2+b4+..+b2m）=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]，运算求得结果．
（3）假设存在a和b满足条件，根据bm的定义可知，an+b≥m，且a＞0，对于任意的正整数m，都有3m+1＜≤3m+2．当3a-1＞0（或3a-1＜0）时，不满足条件，当3a-1=0时，可得-≤b＜-，从而得出结论．
【解析】
（1）由题意可得，an=an+b=2n-3，令an=2n-3≥10，可得n≥6.5，∴n=7，即b10=7．
（2）∵a=2，b=-1，∴an=an+b=2n-1，对于正整数，令an≥m，求得 n≥．
根据bm的定义可知：当m=2k-1时，bm=k（k∈N*）；
当m=2k时，bm=k+1（k∈N*）．
∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+..b2m-1）+（b2+b4+..+b2m）
=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]=+=m2+2m．
 （3）假设存在a和b满足条件，∵bm=3m+2（m∈N*），
根据bm的定义可知，an+b≥m，且a＞0，即 n≥．
对于任意的正整数m，都有3m+1＜≤3m+2恒成立，即-2a-b≤（3a-1）m＜-a-b恒成立．
当3a-1＞0（或3a-1＜0）时，可得 m＜- （或m≤-），这与m是任意的正整数相矛盾．
当3a-1=0时，a=，可得--b≤0＜--b，即-≤b＜-，进过检验，满足条件．
综上，存在a和b，使得，此时，a=，且-≤b＜-．