Question

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形．ABEF是矩形，G是线段EF的中点，且B点在平面ACG内的射影在CG上．
（1）求证：AG上平面BCG；
（2）求直线BE与平面ACG所成角的正弦值．

Answer

（1）设B点在平面AGC内的射影为H，则H在CG上，由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，则BC⊥平面ABEF，可得BC⊥AG，根据线面垂直的判定定理可知AG⊥平面BGC；
（2）延长AG、BE交于K，连HK，因为BH⊥面ACG，所以∠KHB即为直线BE与平面ACG所成角，求出BH、BK，即可求得结论．
（1）证明：设B点在平面AGC内的射影为H，则H在CG上，
由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，
∵ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，
∴BC⊥平面ABEF，又AG⊂平面ABEF，
∴BC⊥AG，又BH、BC⊂平面BCG，
∴AG⊥平面BCG；
（2）【解析】
延长AG、BE交于K，连HK，
因为BH⊥面ACG，所以∠KHB即为直线BE与平面ACG所成角．
由（1）知，AG⊥平面BCG，故AG⊥BG，
∵AF=BE=AB，BG=AB，
∴BH===AB．
∴sin∠KHB==．
∴直线BE与平面ACG所成角为arcsin．