Question

已知数列{a_n}、{b_n}中，对任何正整数n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若数列{a_n}是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）若数列{b_n}是等比数列，数列{a_n}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；

Answer

（1）根据等差数列的性质求得数列{an}的通项公式，代入a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2中，利用错位相减法求得bn=2n-1，进而推断数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）设等比数列{bn}的首项为b，公比为q，代入a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2中进而求得bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3++ban-1=2n-n-1，整理得（2n-n-1）q+ban=2n+1-n-2，进而求得an的表达式，要使an+1-an是与n无关的常数，必需q=2，进而得出结论当等比数列{bn}的公比q=2时，数列{an}是等差数列，其通项公式是；当等比数列{bn}的公比不是2时，数列{an}不是等差数列．
【解析】
（1）依题意数列{an}的通项公式是an=n，
故等式即为bn+2bn-1+3bn-2++（n-1）b2+nb1=2n+1-n-2，bn-1+2bn-2+3bn-3++（n-2）b2+（n-1）b1=2n-n-1（n≥2），
两式相减可得bn+bn-1++b2+b1=2n-
得bn=2n-1，数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）设等比数列{bn}的首项为b，公比为q，则bn=bqn-1，从而有：bqn-1a1+bqn-2a2+bqn-3a3++bqan-1+ban=2n+1-n-2，
又bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3++ban-1=2n-n-1（n≥2），
故（2n-n-1）q+ban=2n+1-n-2
，
要使an+1-an是与n无关的常数，必需q=2，
即①当等比数列{bn}的公比q=2时，数列{an}是等差数列，其通项公式是；
②当等比数列{bn}的公比不是2时，数列{an}不是等差数列．