Question

设函数C：f（x）=2ax-+lnx，若f（x）在x=1，x=-处取得极值，
（i ）求a，b的值；
（ii）在[，2]存在x，使得不等式f（x）-c≤0，求c的最小值．

Answer

（ i ）根据题意可得函数的定义域为（0，+∞），然后对函数求导可得f′（x）=2a++．∵f（x）在x=1，x=-处取得极值，∴f′（1）=0，f′（）=0，可求，b的值；
（ii）在[，2]存在存在x，使得不等式f（x）-c≤0，只需c≥[f（x）]min，可解．
【解析】
（i）∵f（x）=2ax-+lnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2a++．
∵f（x）在x=1，x=-处取得极值，
∴f′（1）=0，f′（）=0，
即，
解得：，
∴所求a，b的值为-，-；
（ii）在[，2]存在存在x，使得不等式f（x）-c≤0，只需c≥[f（x）]min，
由f′（x）=-x-+=-=-，
∴当x∈[，]时，f′（x）＜0，故f（x）在[，]是单调递减，
当x∈[，1]时，f′（x）＞0，故f（x）在[，1]是单调递增，
当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，故f（x）在[1，2]是单调递减；
∴f（）是f（x）在[，2]上的极小值，
而f（）=+ln=-ln2，f（2）=-+ln2，
且f（）-f（2）=-ln4=ln-ln4，
又e3-16＞0，
∴ln-ln4＞0，
∴[f（x）]min=f（2），
∴c≥[f（x）]min=-+ln2，
∴c的取值范围为[-+ln2，+∞），
∴c的最小值为+ln2．