Question

已知函数
（1）求f（x）在[0，1]上的极值；
（2）若对任意成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，2]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer

（1）求出f′（x）令其=0得到函数驻点，讨论函数在[0，1]上，驻点把它分成两个区间考虑函数的增减性得到极值即可；
（2）由已知的不等式解出a的取值范围并得到a的取值使不等式成立即可；
（3）把f（x）=-2x+b变为并令φ′（x）利用f（a）f（b）＜0，则a与b之间有交点的方法求出b的取值即可．
【解析】
（1），
令（舍去）
∴单调递增；
当单调递减．
∴上的极大值；
（2）由|a-lnx|-ln[f′（x）+3x]＞0得
a＞lnx+ln3-ln（2+3x）或a＜lnx-ln3+ln（2+3x）
设，h（x）=lnx+ln3-ln（2+3x），g（x）=lnx-ln3+ln（2+3x）
依题意知上恒成立，
∵，，
∴上单增，要使不等式成立，
当且仅当；
（3）由
令，
当上递增；
当上递减
而，
∴f（x）=-2x+b即φ（x）=0在[0，1]恰有两个不同实根等价于
∴