Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=1，若将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个偶函数的图象，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．-1004.5

Answer

先利用函数为定义在R上的奇函数得f（0）=0，f（-x）=-f（x）；再与f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个偶函数的图象对应的结论f（x-1）=f（-x-1）相结合可得函数的周期为4，再分别求出f（1），f（2），f（3），f（4）的值即可得出结论．
【解析】
∵（x）是定义在R上的奇函数
∴f（0）=0，f（-x）=-f（x）
因为将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个偶函数的图象，
所以有f（x-1）=f（-x-1）⇒f（x-1）=-f（x+1）⇒f（t+2）=-f（t）⇒f（t+4）=f（t）．
即4是函数的周期．
∴f（3）=f（-1）=-f（1）=-1；f（2）=-f（0）=0；f（4）=f（0）=0．
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）
=502×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2009）
=502×[1+0+（-1）+0]+f（1）
=f（1）=1．
故选B