Question

已知定义域为R的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈（0，）时，f（x）=sinπx，f（）=0，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（ ）
A．9
B．7
C．5
D．3

Answer

由题意知当时f（x）=sinπx，求出f（x）=0的根，再由条件和奇函数的性质，求出一个周期[-，]内函数零点的个数，根据f（x）是定义域为R的周期为3函数，根据周期性进行求出在区间[0，6]上的零点即可．
【解析】
由题意得当时，f（x）=sinπx，
令f（x）=0，则sinπx=0，解得x=1．
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，且，
∴在区间[-，]上有f（-1）=f（1）=f（-）=f（）=0，且f（0）=0，
∵函数f（x）是周期为3的周期函数，
则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，，2，3，4，，5，6，共9个．
故选A．