Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC，PC的中点，AB=2，AP=2．
（I）求证：AE⊥PD；
（II）求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer

（I）证明△ABC为正三角形，可得AE⊥BC，根据BC∥AD，可得AE⊥AD．又PA⊥AE，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，进而可得答案．
（II）建立坐标系，利用题中的已知条件分别求出两个平面的法向量，借助于向量的有关运算计算出向量的夹角，再转化为二面角的平面角．
（1）证明：∵四边形ABCD为棱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，
又∵BC∥AD，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，
又∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
又E，F分别为BC，PC的中点，设AB=BC=CD=DA=2，所以AE=，
∵PA=2，
∴A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（，，1），
∴=（，0，0），=（，，1）．
设平面AEF的一法向量为=（x1，y1，z1），
则，因此，取z1=-1，
则=（0，2，-1），
因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量．
又=（-，3，0），所以cos＜，＞===．
因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．