Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=．
（I）若D是棱CC₁的中点，E是棱AB的中点，证明：DE∥平面AB₁C₁；
（II）求三棱锥A₁-AB₁C₁的体积．

Answer

（I）取BB1的中点F，连接EF，DF，利用D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，可得线线平行，从而可得线面平行，进而可得面面平行，即可证明DE∥平面AB1C1；
（II）利用V三棱锥A1-AB1C1=V三棱锥A-A1B1C1，即可求三棱锥A1-AB1C1的体积．
（I）证明：取BB1的中点F，连接EF，DF，则
∵D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，
∴DF∥B1C1，EF∥A1B1
∴EF∥平面AB1C1，DF∥平面AB1C1，
∵EF∩DF=F，
∴平面DEF∥平面AB1C1，
∵DE⊂平面DEF
∴DE∥平面AB1C1；
（II）【解析】
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1是平面A1B1C1的高，
∵∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=，
∴V三棱锥A1-AB1C1=V三棱锥A-A1B1C1===．