Question

设{a_n}是单调递增的等差数列，S_n为其前n项和，且满足4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）是否存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2？说明理由；
（III）若数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1-b_n=a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（I）设公差为d（d＞0），利用4S3=S6，a2+2是a1，a13的等比中项，建立方程组，求出首项与公差，即可求数列{an}的通项公式；
（II）假设存在m，k∈N*，使am+am+4=ak+2，利用通项可得等式，结合m，k∈N*，即可得到结论；
（III）利用叠加法，即可求数列{bn}的通项公式．
【解析】
（I）设公差为d（d＞0），则
∵4S3=S6，a2+2是a1，a13的等比中项，
∴
∴或
∵d＞0，∴
∴数列{an}的通项公式an=2n-1；
（II）若存在m，k∈N*，使am+am+4=ak+2，则2m-1+2（m+4）-1=2（k+2）-1，即2k-4m=3
∴k-2m=
∵m，k∈N*，∴k-2m=不可能成立
∴不存在m，k∈N*，使am+am+4=ak+2；
（III）由题意可得b2-b1=1，b3-b2=3，bn-bn-1=2n-3
将上面n-1个式子相加可得bn-b1==（n-1）2
∵b1=-1，∴．