Question

设函数f（x）=2^x+cosα-2^-x+cosα，x∈R，且f（1）=．
（1）求α的取值的集合；
（2）若当0≤θ≤时，f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由于f（1）=21+cosα-2-1+cosα=，可得 2cosα=，解得cosα=-1，由此可得 α的取值的集合．
（2）由（1）知，f（x）=2x-1-2-x-1，在R上为增函数，且为奇函数．由所给的不等式可得 f（mcosθ）＞f（m-1），故有m（cosθ-1）＞-1．分θ=0时，和0＜θ≤时两种情况，分别求得m的范围，再取交集，即得所求．
【解析】
（1）由于函数f（x）=2x+cosα-2-x+cosα，x∈R，且f（1）=21+cosα-2-1+cosα=，
∴2cosα=，解得cosα=-1，∴α的取值的集合{α|α=2kπ+π k∈z}．
（2）由（1）知，f（x）=2x-1-2-x-1，在R上为增函数，且为奇函数．
∵当0≤θ≤时，f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，∴f（mcosθ）＞f（m-1），
∴mcosθ＞m-1，m（cosθ-1）＞-1．
当θ=0时，cosθ=1，m∈R．
当0＜θ≤时，0≤cosθ＜1，m＜．再由 ≥1，可得 m＜1．
综上，实数m的取值范围为（-∞，1）．