Question

二次函数f（x）=ax²+bx+1，（a＞0），设f（x）=x的两个实根为x₁，x₂，
（1）如果b=2且|x₂-x₁|=2，求a的值；
（2）如果x₁＜2＜x₂＜4，设函数f（x）的对称轴为x=x，求证：x＞-1．

Answer

（1）利用韦达定理可表示出x2+x1和x2•x1，进而利用配方法求得|x2-x1|2的表达式，进而利用已知条件求得a．
（2）根据根的分布推断出f（2）＜0且f（4）＞0，整理不等式组求得a和b的不等式关系，进而表示出对称轴，求x的范围，证明原式．
【解析】
（1）b=2，f（x）=ax2+2x+1，（a＞0），又f（x）=x的两个实根为x1，x2，
∴x2+x1=-，x2•x1=
∵|x2-x1|2=（x2+x1）2-4x2•x1=
解得：a=
（2）依题意可知
即
整理求得2a＞b
∴＜2
∵函数f（x）的对称轴为x=x，
∴x=-
∴x＞-1