Question

已知x∈R，f（x）为奇函数，且总有f（2+x）+f（2-x）=0，f（1）=-9，则f（2010）+f（2011）+f（2012）的值为    ．

Answer

由于题意知，f（2+x）=-f（2-x）=f（x-2），得到函数f（x）是以4为周期的奇函数，又由f（2+x）+f（2-x）=0，则若令x=0，则f（2）=0，则f（2010）+f（2011）+f（2012）=f（2）+f（-1）+f（0）=0+9+0=9
【解析】
由于x∈R，f（x）为奇函数，且总有f（2+x）+f（2-x）=0，
则f（2+x）=-f（2-x）=f（x-2），且若令x=0，则f（2）=0
则函数f（x）是以4为周期的奇函数，
则f（2010）+f（2011）+f（2012）=f（2）+f（-1）+f（0）
又由f（1）=-9，且f（0）=0，则f（2）+f（-1）+f（0）=0+9+0=9
故答案为 9．