Question

已知直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥CB，D为AB中点，CB=1，AC=，．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-D的余弦值．

Answer

（Ⅰ）连结AC1，设AC1∩A1C=E，连结DE，证明ED∥BC1，利用线面平行的判定定理，即可得到结论；
（Ⅱ）设H是AC中点，F是EC中点，连结DH、HF、FD，证明∠DFH为二面角A-A1C-D的平面角，即可求二面角A-A1C-D的余弦值．
（Ⅰ）证明：连结AC1，设AC1∩A1C=E，连结DE，
∵A1B1C1-ABC是直三棱柱，且，
∴AA1C1C是正方形，E是AC1中点，
∵D为AB中点，∴ED∥BC1．…（4分）
又∵ED⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD．…（6分）
（Ⅱ）设H是AC中点，F是EC中点，连结DH、HF、FD，
∵D为AB中点，∴DH∥BC，同理可证HF∥AE．
又∵AC⊥CB，∴DH⊥AC．
又侧棱AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥DH．
∴DH⊥平面AA1C1C．…（8分）
由（Ⅰ）得AA1C1C是正方形，则A1C⊥AE，∴A1C⊥HF．
∵HF是DF在平面AA1C1C上的射影，∴DF⊥A1C．
∴∠DFH即为二面角A-A1C-D的平面角．…（10分）
又，
∴在Rt△DFH中，．
∴二面角A-A1C-D的余弦值为．…（13分）