Question

已知在数列{a_n}中，S_n是前n项和，满足S_n+a_n=n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3，…），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由Sn+an=n，即可求得a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）由Sn+an=n，Sn+1+an+1=n+1，二者作差（后者减去前者）可得2an+1-an=1，整理可得an+1-1=（an-1），从而可知数列{an-1}是以为首项，以为公比的等比数列，于是可求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）与已知可求得bn=，利用错位相减法即可求得其n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn+an=n，
∴a1=，a2=，a3=．…（3分）
（Ⅱ）∵a1+a2+a3+…+an-1+an=n-an，…①
a1+a2+a3+…+an+an+1=n+1-an+1，…②
②-①得2an+1-an=1，
即an+1-1=（an-1）．…（5分）
又a1-1=-，
∴数列{an-1}是以为首项，以为公比的等比数列．…（7分）
∴an-1=（-）=-，
可得an=1-．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an=1-，
∵bn=（2-n）（an-1）=（2-n）[-]=，…（10分）
所以数列{bn}的前n项和Tn=+++…+．…①
所以Tn=+++…+．…②…（12分）
①-②得Tn=+++…+-=-．
所以Tn=-．…（14分）