Question

已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足，求的取值范围．

Answer

（1）先由离心率为，求出a，b，c的关系，再利用直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆C1的方程；
（2）把题中条件转化为动点M的轨迹是以l1：x=-1为准线，F2为焦点的抛物线，即可求点M的轨迹C2的方程；
（3）先设出点R，S的坐标，利用求出点R，S的坐标之间的关系，再用点R，S的坐标表示出，利用函数求最值的方法即可求的取值范围．
【解析】
（1）由得2a2=3b2，又由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，
得，，∴椭圆C1的方程为：．（4分）
（2）由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1：x=-1为准线，
F2为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x．（8分）
（3）Q（0，0），设，
∴，
由，得，∵y1≠y2
∴化简得，（10分）
∴（当且仅当y1=±4时等号成立），
∵，
又∵y22≥64，∴当y22=64，即y2=±8时，
∴的取值范围是．（13分）