Question

已知函数f（x）=，a＞0．
（Ⅰ）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞时，若存在x∈（，+∞），使得f（x）＜，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求导，利用函数f（x）在x=2取得极小值，则f'（x）=0，解a．
（Ⅱ）解导数不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0，判断函数的单调区间．
（Ⅲ）将不等式转化为最值恒成立问题，利用导数求函数的最值．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为，且f'（x）=x-（1+2a）+，…（1分）
因为函数f（x）在x=2取得极小值，所以f'（2）=0，
即f'（2）=2-（1+2a）+=0，．…（2分）
解得a=1．…（3分）
经检验：a=1时，函数f（x）在x=2取得极小值，所以a=1．…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=x-（1+2a）+==
令f'（x）=0，则x=或x=2a…（6分）
i、当2a＞，即a＞时，

x （-，） （，2a） 2a （2a，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ ↘ ↗

所以f（x）的增区间为（-，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）…（7分）
ii、当2a=，即a=时，f'（x）=≥0在（，+∞）上恒成立，
所以f（x）的增区间为（，+∞）                     …（8分）
iii、当0＜2a＜，即0＜a＜时，

x （-，2a） 2a （2a，） （，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ ↘ ↗

所以f（x）的增区间为（-，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）…（9分）
综上所述：
0＜a＜时，f（x）的增区间为（-，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）a=时，f（x）的增区间为（，+∞）a＞时，f（x）的增区间为（-，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）
（Ⅲ）由题意，a＞时，存在x∈（，+∞），f（x）＜，即a＞时，f（x）在（，+∞）上的最小值小于．…（10分）
由（Ⅱ）a＞时，f（x）在（，2a）上递减，在（2a，+∞）上递增，f（x）在（，+∞）上的最小值为f（2a），…（11分）
所以f（2a）＜，
即＜…（12分）
化简得ln（4a+1）＜1，4a+1＜e，，
又a＞，所以，所求实数a的取值范围为．…（13分）