Question

正整数数列{a_n}满足：a₁=1，
（Ⅰ）写出数列{a_n}的前5项；
（Ⅱ）将数列{a_n}中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{n_k}，试用n_k表示n_k+1（不必证明）；
（Ⅲ）求最小的正整数n，使a_n=2013．

Answer

（Ⅰ）由数列{an}满足递推公式，令n=1，2，3，4及a1=1，我们易得到a2，a3，a4，a5，的值；
（Ⅱ）由（1）和条件可归纳数列{nk}中每一项的值与序号的关系，由归纳推理出nk的一个通项公式，再由（Ⅰ）归纳出数列{an}中项之间的关系式，再得到项数之间的关系式；
（Ⅲ）把（Ⅱ）的结论化为2nk+1+1=3（2nk+1），记2nk+1=xk，转化为新的等比数列{xk}，利用此数列的通项公式进而求出nk的表达式，把nk+1=3nk+1转化为不等式“an≤3nk+1=nk+1”，给k具体值结合（Ⅱ）的结论，进行注意验证an与2013的大小关系，一直到n8+2-m=2013，进而求出m的值，代入对应的式子求出n的值．
【解析】
（Ⅰ）令n=1代入得，a2=a1+1=2，
令n=2代入得a3=a2+2=4；令n=3代入得a4=a3-3=1，
令n=4代入得a5=a4+4=5；
∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=1，a5=5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知n1=1，n2=4，n3=13，…，
猜想使的下标nk满足如下递推关系：nk+1=3nk+1，k=1，2，3，…．
对k归纳：k=1，2时已成立，设已有，则由（Ⅰ）归纳可得，
，，，，…．
归纳易得：，，
故当m=nk+1时，=．
因此nk+1=3nk+1，（k=1，2，3，…）成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，nk+1=3nk+1，则2nk+1=2（3nk+1），
即2nk+1+1=3（2nk+1），记2nk+1=xk，
则xk+1=3xk，x1=3，故，因此，
由nk+1=3nk+1，k=1，2，3，…可知，
当n≤3nk=nk+1-1时，an≤3nk+1=nk+1．
因此，当n＜n7时，an≤n7==1093；
而当n7≤n＜n8时，要么有an≤1094，要么有an≥2×1094，即an取不到2013，
进而考虑n8≤n＜n9的情况，
由（Ⅱ）得，，
则n8+2-m=2013，解得m=1269，解得n8+2m-1=5817
故．
故使得an=2013的最小n为5817．