Question

已知等差数列{a_n}的前n项和胃S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若从数列{a_n}中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第2ⁿ项，…，按原来顺序组成一个新数列{b_n}，记该数列的前n项和为T_n，求T_n的表达式．

Answer

（1）设出等差数列的公差为d，利用S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列，建立方程，求出首项与公差，即可求数列{an}的通项公式；
（2）确定新数列{bn}的通项，利用分组求和，即可求Tn的表达式．
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，则
∵S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列，
∴3a1+3d+5a1+10d=50，（a1+3d）2=a1（a1+12d）
∵公差d≠0，∴a1=3，d=2
∴数列{an}的通项公式an=2n+1；
（2）据题意得bn==2×2n+1．
∴数列{bn}的前n项和公式：Tn=（2×2+1）+（2×22+1）+…+（2×2n+1）=2×（2+22+…+2n）+n=2×+n=2n+2+n-4．