Question

已知定义在R上的函数f（x）=ax³-2ax²+b（a＞0）在区间[-2，1]上的最大值是5，最小值是-11．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若t∈[-1，1]时，f'（x）+tx≤0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer

（1）对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x的范围判断函数在[-2，1]上的单调性，进而表示出函数在[-2，1]上的最大值，可求出a的值，确定函数f（x）的解析式．
（2）根据（1）中函数f（x）的导函数将问题f'（x）+tx≤0转化为3x2-4x+tx≤0成立，然后令g（t）=xt+3x2-4x，问题又转化为g（t）≤0在t∈[-1，1]上恒成立，再由一次函数的性质可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax3-2ax2+b，
∴f'（x）=3ax2-4ax=ax（3x-4）
令f'（x）=0，得
因为a＞0，所以可得下表：

因此f（0）必为最大值，∴f（0）=5，因此b=5，
∵f（-2）=-16a+5，f（1）=-a+5，∴f（1）＞f（-2），
即f（-2）=-16a+5=-11，∴a=1，
∴f（x）=x3-2x2+5

（Ⅱ）∵f'（x）=3x2-4x，∴f'（x）+tx≤0等价于3x2-4x+tx≤0，
令g（t）=xt+3x2-4x，则问题就是g（t）≤0在t∈[-1，1]上恒成立时，求实数x的取值范围，
为此只需，即，
解得0≤x≤1，所以所求实数x的取值范围是[0，1]．