Question

已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明：当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．

Answer

（1）由x+ky-3=0得，（x-3）+ky=0，所以F为（3，0）．由题设知，由此可求出椭圆C的方程．
（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以+=1．从而圆心O到直线l的距离d===＜1．由此可求出直线l被圆O截得的弦长的取值范围．
【解析】
（1）由x+ky-3=0得，（x-3）+ky=0，
所以直线过定点（3，0），即F为（3，0）．
设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），
则解得
故所求椭圆C的方程为+=1．

（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以+=1．
从而圆心O到直线l的距离
d===＜1．
所以直线l与圆O恒相交．
又直线l被圆O截得的弦长
L=2=2=2，由于0≤m2≤25，
所以16≤m2+16≤25，则L∈[，]，
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[，]．