Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

①对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到答案；
②由函数f（x）在x=1处取得极值求出a的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数b的取值范围即可．
【解析】
（Ⅰ）在区间（0，+∞）上，．…（1分）
①若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）是区间（0，+∞）上的减函数；     …（3分）
②若a＞0，令f′（x）=0得x=．
在区间（0，）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
在区间上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
综上所述，①当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间；
②当a＞0时，f（x）的递增区间是，递减区间是．…（6分）
（II）因为函数f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=0
解得a=1，经检验满足题意．…（7分）
由已知f（x）≥bx-2，则       …（8分）
令，则      …（10分）
易得g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，…（12分）
所以g（x）min=，即．                   …（13分）