Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，是与的等比中项．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若b₁=a₁，且b_n=2b_n-1+3，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）利用是与的等比中项，可得，再写一式，两式相减，即可求数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）确定数列{bn+3}是公比为2的等比数列，即可求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）利用错位相减法，即可求数列{cn}的前n项和Tn．
（Ⅰ）证明：∵是与的等比中项，
∴
∴n≥2时，
两式相减可得（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵数列各项为正
∴an-an-1=2
∵n=1时，
∴a1=1
∴数列{an}是以1为首项，公差为2的等差数列
∴an=2n-1；
（Ⅱ）【解析】
∵bn=2bn-1+3，∴bn+3=2（bn-1+3），
∴数列{bn+3}是公比为2的等比数列
∵b1=a1=1，
∴b1+3=4，∴bn+3=2n+1
∴bn=2n+1-3；
（Ⅲ）【解析】
在（Ⅱ）的条件下，=，
∴Tn=
∴Tn=
两式相减可得Tn==
∴Tn=．