Question

已知函数f（x）=x³+ax²-2ax-3a，（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线x+6y=0垂直，求a的值．
（Ⅱ）证明：对于∀a∈R都∃x∈[-1，4]，使得f（x）≤f′（x）成立．

Answer

（1）f′（x）=3x2+2ax-2a，利用f′（2）与直线x+6y=0的斜率乘积为-1，求解a
（2）令g（x）=f（x）-f′（x）=x3+（a-3）x2-4ax-a，考察g（x）在∈[-1，4]上的最小值小于等于0即可．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax-2a，直线x+6y=0的斜率为-，由题意得f′（2）=12+2a=6，
所以a=-3…（4分）
（Ⅱ）证明：令g（x）=f（x）-f′（x），g（x）=x3+（a-3）x2-4ax-a，
由g′（x）=0得：x1=2，…（7分）
（1）当a≤-3时，x2≥x1，在（-∞，2]上g′（x）≥0，即g（x）在（-∞，2]上单调递增，此时g（x）min≤g（-1）=4a-4≤-16．
∴a≤-3…（10分）
（2）当a＞-3时，x1＞x2，在上g′（x）≥0，在上g′（x）＜0，在[2，+∞）上g′（x）≥0，即g（x）在上单调递增，在上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，g（x）min≤g（2）或者g（x）min≤g（-1），此时只要g（-1）=4a-4≤0或者g（2）=-5a-4≤0即可，得a≤1或，
∴a＞-3．…（14分）
由 （1）、（2）得 a∈R．
∴综上所述，对于∀a∈R都∃x∈[-1，4]，使得f（x）≤f′（x）成立．…（15分）