Question

已知如图（1），梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的动点，且EF∥BC，设AE=x（0＜x＜4）．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如图（2）．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若以B、C、D、F为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；
（Ⅲ）当f（x）取得最大值时，求异面直线CD和BE所成角的余弦值．

Answer

（1）由面面垂直的判定定理推出即可；
（2）过D作DH∥AE，则DG=AE，且DH⊥平面EBCF，由f（x）=VD-BFC =×S△BFC×DH 求出f（x）的解析式，由二次函数的性质求出其最大值；
（3）作平行线得到∠AMN即为异面直线CD和BE所成的角，求出此角所在三角形的三边长，余弦定理求得θ的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）∵平面AEFD⊥平面EBCF，AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，
∴AE⊥BC
∵BE⊥BC，
∴BC⊥平面ABE．
又BC⊂平面ABCD，
∴平面ABE⊥平面ABCD．  …（4分）
（Ⅱ）∵AD∥平面BFC，
∴…6分
=
即x=2时，f（x）有最大值．  …（8分）
（Ⅲ）取BC中点M，作MN∥BE交EF于N，连结AM，AN，
∵MC∥AD，且MC=AD，
∴AMCD为平行四边形．∴AM∥CD
∴∠AMN即为异面直线CD和BE所成的角．…（10分）
计算得，MN=2，，
∴…（12分）