Question

数列{a_n}中，a₃=1，a₁+a₂+…+a_n=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₄，a₅；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设b_n=log₂S_n，存在数列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=n（n+1）（n+2）S_n，试求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）依题意，可求得a1=a2；而a1+a2=a3=1，从而可求a1，a2，继而可求得a4，a5；
（Ⅱ）可求得2Sn=Sn+1，即{Sn}是首项为S1=a1=，公比为2的等比数列，从而可求得Sn=2n-2；
（Ⅲ）依题意，可求得cn=n•2n-2，利用错位相减法即可求得数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，有a1=a2；当n=2时，有a1+a2=a3；…
∵a3=1，
∴a1=，a2=，a4=2，a5=4．…（4分）
（Ⅱ）∵Sn=an+1=Sn+1-Sn，…（6分）
∴2Sn=Sn+1
∴=2…（8分）
∴{Sn}是首项为S1=a1=，公比为2的等比数列．
∴Sn=•2n-1=2n-2…（10分）
（Ⅲ）由Sn=2n-2，得bn=n-2，
∴bn+3=n+1，bn+4=n+2，
∵cn•bn+3•bn+4=n（n+1）（n+2）Sn，
∴cn•（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）2n-2，
即cn=n•2n-2．  …（12分）
Tn=1×2-1+2×2+3×21+4×22+…+n•2n-2…①
则2Tn=1×2+2×21+3×22+…+（n-1）•2n-2+n•2n-1…②
②一①得
Tn=n•2n-1-2-1-2-21-…-2n-2=n•2n-1-=n•2n-1+．…（14分）