Question

已知函数f（x）满足f（x）=（其中为f（x）在点x=处的导数，c为常数）．若函数f（x）的极小值小于0，则c的取值范围是    ．

Answer

求出f（x）的导函数，令x=得到关于f′（ ）的方程，解方程求出f′（）的值．再将f′（ ）的值代入f（x）的解析式，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，根据表求出函数f（x）的单调区间，进而得出函数的极小值，最后建立关于C的不等关系求解即可．
【解析】
由f（x）=x3+f′（ ）x2-x+C，
得f′（x）=3x2+2f′（ ）x-1．
取x=，得f′（ ）=3×（ ）2+2f′（ ）×（ ）-1，
解之，得f′（ ）=-1，
∴f（x）=x3-x2-x+C．
从而f′（x）=3x2-2x-1=3（x+）（x-1），列表如下：

x （-∞，-） - （-，1） 1 （1，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗

∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-）和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是（-，1）．
∴函数f（x）的极小值为f（1）=-1+C，由题意得-1+C＜0，
∴C＜1．
则c的取值范围是 （-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．