Question

已知a²+b²=2，若a+b≤|x+1|-|x-2|对任意实数a、b恒成立，则x的取值范围是    ．

Answer

由已知，只需|x+1|-|x-2|大于等于a+b的最大值即可，利用三角换元法可求出a+b的最大值为2．通过解2≤|x+1|-|x-2|即可求出x的取值范围．
【解析】
由已知，只需|x+1|-|x-2|大于等于a+b的最大值即可．
由于a2+b2=2，令a=cosθ，b=sinθ，则a+b=（cosθ+sinθ）=2sin（），故a+b的最大值为2．
所以2≤|x+1|-|x-2|．可以化为下面的三个不等式组
，此时无解
或，解得
或，解得x≥2
综上所述，x的取值范围是[，2）∪[2，+∞）=[）
故答案为：[）