Question

已知函数f（x）=x²+（a-1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＞m，求m的取值范围．

Answer

（1）依题意，可求得a=1，b=-1，从而得Sn=n2，于是可求得a1及an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2），观察即可求得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）得bn=，利用错位相减法可求得Tn=3-．设g（n）=，n∈N+，可求得＜1，即g（n）=（n∈N+）随n的增大而减小，于是g（n）≤g（1），由Tn＞m即可求得m的取值范围．
【解析】
（1）∵函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴a-1=0，且a+b=0，解得a=1，b=-1，
∴Sn=n2，即有an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）．
a1=S1=1也满足，
∴an=2n-1．（5分）
（2）由（1）得bn=，
∴Tn=+++…++，①
Tn=++…+++，②
①-②得Tn=+++…++-
=+（+++…+）-
=--，
∴Tn=3--=3-．（9分）
设g（n）=，n∈N+，
则由===+≤+＜1，得g（n）=（n∈N+）随n的增大而减小，
∴g（n）≤g（1），
即Tn≥3-=．
又Tn＞m恒成立，
∴m＜．（12分）