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已知椭圆C:manfen5.com 满分网的离心率为manfen5.com 满分网,A、B为它的左、右焦点,过一定点N(1,0)任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q,且|manfen5.com 满分网|的最小值为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线NP、NQ,使得向量manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网互相垂直?若存在,求出点P、Q的横坐标,若不存在,请说明理由.
(1)设O为坐标原点,易知PO为△PAB的中线,从而可得,易知当点P在短轴上定点时取得最小值2,由此可求得b值,再由离心率及a2=b2+c2可求得a; (2)易知直线NP,NQ斜率均存在,设两直线方程分别为:LNP:y=k(x-1),,由,(O为原点),知只需满足即可,由=-1,可得xP+xQ=1①,根据点P、Q在椭圆上得,=-1,联立①可得②,可判断①②构成方程组有解,从而可得结论; 【解析】 (1)设O为坐标原点,则PO为△PAB的中线, ∴,, 因此,当P在短轴上顶点时,取得最小值2,即2b=2,解得b=1, 依题意得:,即,即,∴a2=4, ∴椭圆C的方程为:; (2)由题意知直线NP,NQ斜率均存在,设为KNP=k,, 则此两直线方程分别为:LNP:y=k(x-1),, 又,(O为原点),因此,只要满足即可, 故=-1,化简为:xP+xQ=1, 由半椭圆方程得:,则=-1,即=-4xPxQ, 令xPxQ=t≤0且xP+xQ=1,故, 化简为:15t2-8t-12=0,解得t=-或t=(舍去),∴, 解之得:或, 因此,直线NP、NQ能使得与互相垂直.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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