Question

已知数列{a_n}是首项为a₁=，公比q=的等比数列．设（n∈N^*），数列{c_n}满足．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}成等差数列；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）依题意，可求得an=，从而可求得bn=3n-2；利用等差数列的定义判断即可；
（Ⅱ）利用裂项法可求得cn=（-），从而可求得数列{cn}的前n项和Sn．
证明：（Ⅰ）∵数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，
∴an=•=，
∵bn+2=3an=3=3n（n∈N*），
∴bn=3n-2；
∴bn+1-bn=3（n+1）-2-（3n-2）=3，
∴数列{bn}是以1为首项，3为公差的成等差数列．
（Ⅱ）∵cn===（-），
∵数列{cn}的前n项和为Sn，
∴Sn=c1+c2+…+cn
=[（1-）+（-）+…+（-）]
=（1-）
=．