Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量=（，-2sinA），=（2cos²-1，cos2A），且‖，A为锐角．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）利用向量共线的条件，建立等式，结合A为锐角，即可求角A的大小；
（Ⅱ）根据a=2，利用余弦定理及基本不等式，结合三角形面积公式，即可求△ABC的面积的最大值．
【解析】
（Ⅰ）∵=（，-2sinA），=（2cos2-1，cos2A），且‖，
∴cos2A=-2sinA（2cos2-1），
∴cos2A=-2sinAcosA，
∴cos2A=-sin2A，
∴tan2A=-
∵A为锐角
∴A=；
（Ⅱ）∵a=2，∴4=b2+c2-2bccos
∴4=b2+c2-bc≥bc（当且仅当b=c时等号成立）
∴b=c时，bc取得最大值4
∵△ABC的面积等于
∴△ABC的面积的最大值为．