Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是棱AB，CC₁，D₁A₁，BB₁的中点；
（1）证明：FH∥平面A₁EG；
（2）求三棱锥A₁-EFG的体积．

Answer

（1）通过证明FH∥A1G．利用A1G⊂平面A1GE，FH⊄平面A1GE，推出FH∥平面A1GE
（2）连接HA1，HE，HG，利用，求出与A1G，即可得到所求几何体的体积．
【解析】
（1）证明：∵FH∥B1C1，B1C1∥A1G，∴FH∥A1G．
又A1G⊂平面A1GE，FH⊄平面A1GE，
∴FH∥平面A1GE
（2）【解析】
连接HA1，HE，HG，由（1）得FH∥平面A1GE，
∴
又=，
∵A1G=．
∴==